단면 2차모멘트(the 2nd moment of area)와 단면계수(section modulus)

교재 학습 범위

• 교재 153쪽~154쪽의 "4.1.2 단면 2차모멘트"에서 [1] 기본식, [2] 좌표축의 평행이동
• 교재 155쪽~158쪽의 예제 4-5부터 예제 4-7까지
• 교재 159쪽~160쪽의 "4.1.4 단면계수 및 단면 2차반지름"에서 [1] 단면계수

단면 2차모멘트(the 2nd moment of area, moment of inertia)

• 단면 2차모멘트는 단면적에 기준축까지의 수직거리의 제곱을 곱한 값으로서, 항상 양의 값을 갖는다. 단위는 면적에 길이 제곱을 곱했으므로 \(mm^4, \, m^4\)이다.
• 아래 그림과 같은 임의의 형태를 갖는 단면에서, 단면의 아주 작은 부분 \(dA\)의 \(x, \, y\)축에 대한 단면 2차모멘트 \(dI_x ,\, dI_y\)는 각각 단면적 \(dA\)와 수직거리 \(x, \, y\)의 제곱의 곱, 즉 \(dI_x = y^2\,dA , \, dI_y = x^2\,dA\)이다.

  

• 따라서, 임의의 형태를 갖는 단면 전체의 \(x, \, y\)축에 대한 단면 2차모멘트 \(I_x , \, I_y\)는 단면의 아주 작은 부분 \(dA\)의 \(x, \, y\)축에 대한 단면 2차모멘트 \(dI_x ,\, dI_y\)를 면적 \(A\)에 대해서 적분한 값으로 다음과 같다.

  $$ I_x = \int dI_x = \int y^2 \, dA \qquad I_y = \int dI_y = \int x^2 \, dA $$

• 아래 그림에서, 직사각형, 삼각형, 원형 단면의 경우, 위의 적분식에 따라 도심을 지나는 \(x, \, y\)축에 대한 단면 2차모멘트를 계산하면 각각 다음과 같다.
  

  

  직사각형 : \( I_x = (bh^3)/12, \, I_y = (hb^3)/12 \quad \)
  삼각형 : \( I_x = (bh^3)/36 \quad \) 원 : \(I_x = (\pi r^4)/4 \)
• 확인 질문

평행축 정리(parallel axis theorem)

• 아래 그림과 같이 \(x\)축이 도심축(도심 \(C\)를 지나는 축)이 아닐 경우, \(dA\)에서 \(x\)축까지의 거리 \(y\)는 \(dA\)부터 도심축까지의 거리 \(y'\)과 도심축부터 \(x\)축까지의 거리 \(\bar y\)의 합, 즉 \(y = y' + \bar y\)이다.

  

• 그러므로 도심축이 아닌 \(x\)축에 대한 단면 전체의 \(I_x\) 계산식은 다음이 된다. $$ \begin{align} I_{x} & = \int y^2dA = \int (y'+\bar y)^2dA \\ & = \int y'^2 dA + 2\bar y \int y' dA + \bar y^2 \int dA \\ & = \bar I_x + 2\bar y \times 0 + \bar y^2 A \end{align} $$ 위 식에서, \(\int y'^2 dA\)는 도심축에 대한 단면 2차모멘트이므로 \(\bar I_x\)로 표시하고, \(\int y' dA\)는 도심축에 대한 단면 1차모멘트이므로 \(0\), \(\int dA = A\)이다.
• 따라서, 도심 \(C\)를 지나지 않는 \(x\)축에 대한 단면 전체의 \(I_x\)는 다음과 같다. $$ I_x = \bar I_x + \bar y^2 A $$ 여기에서 \(\bar I_x\)는 단면의 도심축에 대한 단면 2차모멘트, \(\bar y\)는 단면 2차모멘트를 계산하기 위한 \(x\)축으로부터 단면의 도심축까지의 거리이다.
• 어떤 단면의 단면 2차모멘트 계산에서는 먼저 기준축과 도심축의 일치 여부를 확인하고, 만약 일치하지 않는다면 평행축 정리를 이용해야 한다.
• 다음 그림에서 각 단면의 \(1-1\)축에 대한 단면 2차모멘트를 계산하는 경우, \(1-1\)축이 도심축이므로 단면 2차모멘트는 앞에서 이미 기술한 바와 같이 \(I_1 = (bh^3)/12, \, I_1 = (bh^3)/36, \, I_1 = (\pi r^4)/4\)이다.

  

• 반면에 위 그림에서 각 단면의 \(2-2\)축에 대한 단면 2차모멘트를 계산하는 경우, \(2-2\)축이 도심축이 아니므로 평행축 정리를 적용해야 하며, 자세한 계산과정과 결과는 다음과 같다.
  \( I_2 = I_1 + \bar y^2 A = (bh^3)/12 + (h/2)^2 \times bh = (bh^3)/12 + (bh^3)/4 = (bh^3)/3 \)
  \( I_2 = I_1 + \bar y^2 A = (bh^3)/36 + (h/3)^2 \times bh/2 = (bh^3)/36 + (bh^3)/18 = (bh^3)/12 \)
  \( I_2 = I_1 + \bar y^2 A = (\pi r^4)/4 + r^2 \times \pi r^2 = (\pi r^4)/4 + \pi r^4 = (5\pi r^4)/4 \)
  
• 확인 질문

단면계수(section modulus)

• 단면계수는 단면의 도심축에 대한 단면 2차모멘트를 도심축에서 단면의 끝단까지의 거리로 나눈 값이다. 따라서 2개의 단면계수가 존재하며, 단면이 도심축에 대해서 대칭일 경우 그 크기가 같다. 단위는 단면 2차모멘트를 거리로 나누었기 때문에 \(mm^3, \, m^3\)이다.
• 도심을 지나는 \(x\)축이 기준축인 다음 그림에서, \(x\)축에 대한 단면 2차모멘트 \(I_x\)를 \(x\)축부터 단면 끝단까지의 거리 \(y_1, y_2\)로 나눈 \(S_1, \, S_2\)가 단면계수이다.

  

  $$ S_1 = \frac{I_x}{y_1} \qquad S_2 = \frac{I_x}{y_2} $$
• 다음의 직사각형 단면에서 \(x, \, y\)축에 대한 단면계수를 계산하면 다음과 같다.

  

  $$ S_{x1} = \frac{I_x}{y_1} = \frac{bh^3/12}{h/2} = \frac{bh^2}{6} = S_{x2} \quad \because y_1 = y_2 \\ S_{y1} = \frac{I_y}{x_1} = \frac{hb^3/12}{b/2} = \frac{hb^2}{6} = S_{y2} \quad \because x_1 = x_2 $$
• 확인 질문

복습 퀴즈

1. 반지름 \(20mm\)인 원형 단면의 도심축에 대한 단면 2차모멘트를 계산하시오.
   \(mm^4\)
2. 다음에서 \(x\)축에서 도심축까지의 거리 \(\bar y\)를 계산하시오.
   
   \(mm\)
3. 다음에서 \(A\)부분의 폭방향 도심축에 대한 단면 2차모멘트를 계산하시오.
   
   \(mm^4\)
4. 다음에서 \(B\)부분의 폭방향 도심축에 대한 단면 2차모멘트를 계산하시오.
   
   \(mm^4\)
5. 다음에서 단면 전체의 도심축에 대한 \(A\)부분의 단면 2차모멘트를 계산하시오.
   
   \(mm^4\)
6. 다음에서 단면 전체의 도심축에 대한 \(B\)부분의 단면 2차모멘트를 계산하시오.
   
   \(mm^4\)
7. 다음에서 단면 전체의 도심축에 대한 단면 전체의 단면 2차모멘트를 계산하시오.
   
   \(mm^4\)
8. 퀴즈 7에서 도심축 윗 부분의 단면계수를 계산하시오.
   \(mm^3\)
9. 퀴즈 7에서 도심축 아래 부분의 단면계수를 계산하시오.
   \(mm^3\)
10. 퀴즈 7에서 단면 전체의 높이방향 도심축에 대한 단면 전체의 단면 2차모멘트를 계산하시오.
    \(mm^4\)