Member force diagram

부재 내의 모든 위치에서 부재력이 발생하고 각 위치마다 그 크기가 서로 다를 수 있으므로, 부재력의 최대값과 최소값의 위치와 그 크기를 파악하는 것이 중요하다.
따라서 부재력의 최대값과 최소값을 보다 편리하게 파악할 수 있도록 부재의 위치를 $x$축으로 설정하고 그래프를 작성하는데, 이를 부재력도(member force diagram)라 한다.
부재력도는 부재력의 종류에 따라 축력도(axial force diagram, AFD), 전단력도(shear force diagram, SFD), 휨모멘트도(bending moment diagram, BMD)가 있다. 아래 그림과 같이 AFD와 SFD는 위쪽이 양의 축이지만 BMD는 반대로 아래쪽이 양의 축이다.
확인 질문

아래 그림 왼쪽과 같이 임의의 분포하중을 받는 구조물에서 기준점으로부터 양의 방향(오른쪽 방향)으로 $x$만큼 떨어진 위치의 미소구간 $dx$ 부분을 가상으로 절단하여 자유물체도를 그리면 아래 그림 오른쪽과 같다.
자유물체도에는 미소구간 $dx$의 구조물, 외력인 분포하중 $w(x)$, 절점인 왼쪽 단면과 오른쪽 단면에는 각각 전단력 $V(x), \, V(x)+dV(x)$와 휨모멘트 $M(x), \, M(x)+dM(x)$가 표시되어 있다. 왼쪽 단면과 오른쪽 단면의 부재력의 차이는 $dV(x), \, dM(x)$로 표시되었으며, 방향은 부재력으로서의 양의 방향으로 표시되어 있다.
여기에서 $V(x)$와 $M(x)$는 구조물의 기준점으로부터 $x$만큼 떨어진 위치의 전단력과 휨모멘트라는 것을 유의해야 한다.
이 자유물체도에 $x$방향에 대한 평형조건식을 적용하면 아래와 같다. $$ \sum F_y = V(x)-w(x)dx-(V(x)+dV(x))=0 \quad -w(x)dx-dV(x)=0 \\ \therefore -w(x)= \frac{dV(x)}{dx} $$
그리고 점 $C$에 대한 모멘트 평형조건식을 적용하면 아래와 같다. $$ \sum M_C = -V(x)dx-M(x)+w(x)dx\frac{1}{2}dx+(M(x)+dM(x))=0 \\ -V(x)dx+\frac{1}{2}w(x)dx^2+dM(x) \cong -V(x)dx+dM(x)=0 \quad \therefore V(x)= \frac{dM(x)}{dx} $$
이로부터 분포하중, 전단력, 휨모멘트의 관계를 나타내는 식을 정리하면 다음과 같다. $$ -w(x)= \frac{dV(x)}{dx} = \frac{d^2M(x)}{dx^2} $$

위 관계식을 풀어서 정리하면 다음과 같다.
휨모멘트를 부재 내에서의 위치 $x$에 대해 미분하면 전단력이 되고, 전단력을 또 $x$에 대해 미분하면, 즉 휨모멘트를 $x$에 대해서 두번 미분하면 분포하중이 된다.
전단력은 분포하중보다 차수가 1 크고, 휨모멘트는 전단력보다 차수가 1 크다. 반대로, 전단력은 휨모멘트보다 차수가 1 적고, 분포하중은 전단력보다 차수가 1 적다.
분포하중은 전단력을 미분한 값이므로, 특정 위치에서 분포하중의 값은 SFD의 기울기이다.
전단력은 분포하중을 적분한 값이므로, 특정 위치에서 전단력은 기준점부터 특정 위치까지 분포하중의 면적에 초기값을 더한 것과 같다.
전단력은 휨모멘트를 미분한 값이므로, 특정 위치에서 전단력의 값은 BMD의 기울기이다. 따라서, 전단력이 $0$일때 휨모멘트가 최대 또는 최소이다.
휨모멘트는 전단력을 적분한 값이므로, 특정 위치에서 휨모멘트는 기준점부터 특정 위치까지 SFD의 면적에 초기값을 더한 것과 같다.
확인 질문

부재의 중심축을 따라 $x$축을 긋고 그에 수직으로 $V(x)$축을 설정한다.
다음에는 각 구간별로 해당 구간의 시작점과 끝점 등의 $x$를 $V(x)$에 대입하여 전단력의 값을 계산하고 이를 바탕으로 식 $V(x)$의 그래프를 그린다.
그래프는 해당 구간 내에 작용하는 분포하중이 없으면 상수($x$축과 평행한 선), 등분포이면 1차식, 등변분포이면 2차식이다.
지점반력이나 집중하중이 작용하는 위치에서 SFD에 수직선이 있다.
확인 질문

부재의 중심축을 따라 $x$축을 긋고 그에 수직으로 $M(x)$축을 설정한다.
다음에는 각 구간별로 해당 구간의 시작점과 끝점 등의 $x$를 $M(x)$에 대입하여 휨모멘트의 값을 계산하고 이를 바탕으로 식 $M(x)$의 그래프를 그린다.
그래프는 해당 구간 내의 SFD가 상수($x$축과 평행한 선)이면 1차식, 1차식이면 2차식, 2차식이면 3차식이다.
모멘트 지점반력이나 모멘트 집중하중이 작용하는 위치에서 BMD에 수직선이 있다.
특정 위치에서 BMD의 값은 기준점부터 특정 위치까지 SFD의 면적에 초기값을 더한 것이다.
특정 위치에서 BMD의 기울기는 SFD의 값이다.
확인 질문

부재력도(member force diagram)